第二节 等差数列及其前 n 项和知识梳理一、等差数列的概念1．定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这样的数列叫做等差数列，记作数列，首项记作 a1，公差记作 d.2．符号表示： an＋1－an＝d(n∈N*)．二、通项公式若数列为等差数列，则 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.三、前 n 项和公式Sn＝＝na1＋d.四、等差中项如果三数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 和 b 的等差中项，即 A＝ .五、等差数列的判定方法1．定义法： an＋1－an＝d (常数)(n∈N*)⇔是等差数列．2．中项公式法： 2an＋1＝an＋an ＋2(n∈N*)⇔是等差数列．3．通项公式法： an＝kn＋b(k，b 是常数)(n∈N*)⇔是等差数列．4．前 n 项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B 是常数)(n∈N*)⇔是等差数列．六、用函数观点认识等差数列1．an＝dn＋a1－d，d≠0 时是关于 n 的一次函数．2．Sn＝n2＋n，d≠0 时是关于 n 的常数项为零的二次函数．七、等差数列的重要性质1．在等差数列中，若 p＋q＝m＋n，则有 ap＋aq＝am＋an；若 2m＝p＋q，则有 2am＝ap＋aq(p，q，m，n∈N*，简称为下标和性质)．2．在等 差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等差数列，公差为 kd.3．若数列是等差数列，Sn是其前 n 项的和，那么 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(k∈N*)也成等差数列，公差为 k2d.基础自测1．(2013·江门二模)已知数列{an}是等差数列，若 a3＋a11＝24，a4＝3，则{an}的公差是( )A．1 B．3C．5 D．6解析：(法一)因为数列{an}是等差数列，a3＋a11＝24，a4＝3，利用等差数列的性质可得2a7＝24，所以 a7＝12，d＝＝3.(法二)设等差数列的公差为 d， a3＋a11＝24，a4＝3，∴解得 a1＝－6，d＝3，故选 B.答案：B2．(2013·宁夏银川一中质检)已知数列{an}为等差数列且 a1＋a7＋a 13＝4π，则 tan(a2＋a12)的值为( )A. B．±C．－ D．－11.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.解析：由等差数列的性质，得 a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝，∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.故选 D.答案：D3．各项不为零的等差数列{an}中，2a3－a27＋2a11＝0，则 a7的值为________．解析：由 2a3－a＋2a11＝0，得 2(a3＋a11)－a＝0⇒4a7...
