第六节 数列的综合问题在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.知识梳理一、等差、等比数列的一些重要结论1．等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq.2．等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq.3．等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，S4m － S3m，……仍为等差数列．4．等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，S4m － S3m，……仍为等比数列(m 为偶数且公比为－1 的情况除外)．5．两个等差数列{an}与{bn}的和、差构成的数列{an＋bn}，{an－bn}仍为等差数列．6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数构成的数列{an·bn}，，仍为等比数列．7．等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列．8．等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列．9．若{an}为等差数列，则(c>0)是等比数列．10．若{bn}(bn>0)是等比数列，则{logcbn}(c>0 且 c≠1)是等差数列．二、几个数成等差、等比数列的设法三个数成等差的设法：a－d，a，a＋d；四个数成等差的设法：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.三个数成等比的设法：，a，aq；四个数成等比的设法：，，aq，aq3(因为其公比为 q2>0，对于公比为负的情况不能包括)．三、用函数的观点理解等差数列、等比数列1．对于等差数列 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当 d≠0 时，an是关于 n 的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的若干个离散的点；当 d＞0 时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增数列；当 d＝0 时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；当 d＜0 时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列．若等差数列的前 n 项和为 S n，则 Sn＝pn2＋qn(p，q∈R)．当 p＝0 时，{an}为常数列；当p≠0 时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．2．对于等比数列 an＝a1qn－1，可用指数函数的性质来理解．1当 a1＞0，q＞1 或 a1＜0,0＜q＜1 时，等比数列{an}是单调递增数列；当 a1＞0,0＜q＜1 或 a1＜0，q＞1 时，等比数列{an}是单调递减数列；当 q＝1 时，是一个常数列；当 q＜0 时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．四、数列应用的常见模型1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型...
