课时分层作业十三变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题5分,共35分)1.f′(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为()A.0B.3C.4D.-【解析】选B.因为f(x)=x3+2x+1,所以f′(x)=x2+2.所以f′(-1)=3.2.已知函数f(x)=cosx,则f(π)+f′=()A.-B.-C.-D.-【解析】选C.因为f′(x)=-cosx+(-sinx),所以f(π)+f′=-+·(-1)=-.3.(2018·吉林模拟)已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为()A.eB.-eC.D.-【解析】选C.y=lnx的定义域为(0,+∞),且y′=,设切点为(x0,lnx0),则y′=,切线方程为y-lnx0=(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为.【变式备选】曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A.1B.2C.eD.【解析】选A.由题意知y′=ex,故所求切线斜率k=ex=e0=1.4.(2018·沈阳模拟)若曲线y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x-y=0,则实数a=()A.1B.-1C.2D.-1【解析】选C.导数的几何意义即为切线的斜率,由y′=3x2+a得在x=0处的切线斜率为a,所以a=2.【变式备选】直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为()A.2B.ln2+1C.ln2-1D.ln2【解析】选C.y=lnx的导数为y′=,由=,解得x=2,所以切点为(2,ln2).将其代入直线方程y=x+b,可得b=ln2-1.5.已知f(x)=2exsinx,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为()A.y=0B.y=2xC.y=xD.y=-2x【解析】选B.因为f(x)=2exsinx,所以f(0)=0,f′(x)=2ex·(sinx+cosx),所以f′(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.6.设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于()A.-1B.C.-2D.2【解析】选A.因为y′=,所以y′=-1,由条件知=-1,所以a=-1.7.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-2【解析】选C.依题意知,y′=3x2+a,则由此解得所以2a+b=1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为________________.【解析】设切点为(x0,y0),y′=4x,则4x0=4⇒x0=1,所以y0=2,所以切线方程为:y-2=4(x-1)⇒4x-y-2=0.答案:4x-y-2=09.(2018·长沙模拟)若函数f(x)=lnx-f′(-1)x2+3x-4,则f′(1)=________.【解析】因为f′(x)=-2f′(-1)x+3,所以f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,解得f′(-1)=-2,所以f′(1)=1+4+3=8.答案:810.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,且当x>1时,f(x)=xe2-x,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程是________.【解析】因为f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,所以y=f(x)的图象关于点(1,1)对称.当x<1时,取点(x,y),该点关于(1,1)的对称点是(2-x,2-y),代入f(x)=xe2-x可得:2-y=(2-x)e2-(2-x),所以y=2-(2-x)ex=xex,y′=(x+1)ex,y′|x=0=1,所以切线方程为y=x,即x-y=0.答案:x-y=01.(5分)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是()A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3【解析】选C.令x=1得f(1)=1,令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,所以f′(x)=4x-1,所以f′(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.【巧思妙解】选C.令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,两边求导可得f′(2-x)·(2-x)′=4x-7,令x=1可得-f′(1)=-3,即f′(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.2.(5分)(2018·上饶模拟)若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2距离的最小值为()A.1B.C.D.【解析】选B.对于曲线y=x2-lnx上任意一点P,当过该点的切线斜率与直线y=x-2的斜率相同时,点P到直线的距离最小.因为定义域为(0,+∞),所以y′=2x-=1,解得x=1,则在P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d==.【变式备选】曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是________.【解析】如图,所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,也即切点到直线y=2x的距离.由y=ln(2x),则y′==2,得x=,y=ln=0,即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是,y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值,即=.答案:3.(5分)(2018·沧州模拟)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值为________.【解析】易知点O(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上,(1)当O(0,0)是...
