课时达标第57讲[解密考纲]高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程，常以解答题的形式出现．1．求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程．解析由得①将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解析(1)由点A在直线l上，得cos＝a，则a＝，故直线l的方程可化为ρsinθ＋ρcosθ＝2，得直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)消去参数α，得圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1,0)到直线l的距离d＝＝<1，所以直线l与圆C相交．3．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于A，B两点．(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦AB的长度．解析(1)曲线C2：θ＝(ρ∈R)表示直线y＝x，曲线C1：ρ＝6cosθ，即ρ2＝6ρcosθ，所以x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.(2)∵圆心(3,0)到直线的距离d＝，r＝3，∴弦长AB＝2＝3.∴弦AB的长度为3.4．在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，点M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2，求曲线C2的极坐标方程．解析设P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)，由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝.∵M是C1上任意一点，∴ρ2sinθ＝2，即sinθ＝2，ρ1＝2sinθ.∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.5．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，直线l的极坐标方程为ρ＝.(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；(2)设Q为曲线C1上一动点，求点Q到直线l距离的最小值．解析(1)根据ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得C1的直角坐标方程为x2＋2y2＝2，直线l的直角坐标方程为x＋y＝4.(2)设Q(cosθ，sinθ)，则点Q到直线l的距离为d＝＝≥＝，当且仅当θ＋＝2kπ＋，即θ＝2kπ＋(k∈Z)时取等号．∴点Q到直线l距离的最小值为.6．(2018·四川绵阳诊断考试)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．解析(1)将C的参数方程化为普通方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0，所以曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ＋8sinθ.(2)把θ＝代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ1＝4＋3，所以点A的极坐标为A.把θ＝代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ2＝3＋4，所以点B的极坐标为B.所以S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB＝(4＋3)(3＋4)sin＝12＋.
