利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题湖北省仙桃市第八中学 杜好军 联系电话：13477412157导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如，+2 方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。一、有关三次方程根的问题：对的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根，然后转化为， 再 展 开 ， 应 用 待 定 系 数 法 即 可 求 出。 再 对求根得解。如；但大多数三次方程的根不易猜出，这时我们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。例 1、方程的实根的个数是 （ ） 、3 、2 、1 、0分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，画出其草图，数形结合分析求解。解：令= 则= = 当或时 0 为增函数 当时 为减函数 ==013 故的极大值在轴的下方，如图 1，即的图象与轴只有一个交点，原方程只有一个实根。选。（图 1）例 2、已知函数在上是增函数，在上是减函数，若恰有一解，求实数的取值范围。分析：此题给出函数的单调区间，求参数的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它应包含题中给出的单调区间，初步得出的范围。又据恰有一解，即函数值第 1 页 共 3 页对应惟一值。可先由单调性画出草图，然后数形结合分析求解。解：函数在上是增函数，在上是减函数由得， ， 得由题意 0 即 ①又在和上递增，在上递减。如图 2（图 2） 在的值域为 即 据图 2 可知，若恰有一解，只需 得 结合① 二、有关超越方程根的问题：这时更不易猜根求解，但构造函数求导后，画出草图，数形结合，找到图象与轴的交点，则可化难为易。很快得解。例 3、证明方程+2 有惟一解。分析：这一方程形式比较复杂，观察易知是其一根，但不能说明它惟一。我们利用导数，解题步骤基本不变，不同之处是要首先考虑函数的定义域，在定义域的范围内求解。证明：移项得：=0 令 y 01x 当即时 ，，为增函数（图 3）第 2 页 共 3 页 当即时，，为减函数。 如图 3，此时图象与轴相切。与轴只有惟一交点 故方程+2 有惟一解。例 4、若关于的方程在上恰好有两个相异的实根，求实数的...
