四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像和性质问题 1 函数 y＝ax2与 y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出 y＝2x2，y＝12 x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数 y＝x2的图象之间的关系，推导出函数 y＝ax2与 y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数 y＝x2，y＝2x2的图象．先列表：x…-3-2-10123…x2…9410149…2x2…188202818…从表中不难看出，要得到 2x2的值，只要把相应的 x2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数 y＝x2，y＝2x2的图象（如图 2－1所示），从图 2－1 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y＝2x2的图象可以由函数 y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y＝12 x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数 y＝x2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 y＝ax2(a≠0)的图象可以由 y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到．在二次函数 y＝ax2(a≠0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题 2 函数 y＝a(x＋h)2＋k 与 y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数 y＝2(x＋1)2＋1 与 y＝2x2的图象（如图2－2 所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数 y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数 y＝2(x＋1)2＋1 的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数 y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1 的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：由于 y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋b xa)＋c＝a(x2＋b xa＋224ba )＋c－24ba 224()24bbaca xaa，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下...
