(三)函数与导数(1)1．(2018·咸阳模拟)已知函数f(x)＝a(x＋1)lnx－x＋1(a∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a≥时，求证：对任意的x≥1，f(x)≥0恒成立．(1)解由f(x)＝2(x＋1)lnx－x＋1，得f′(x)＝2lnx＋＋1，切点为(1,0)，斜率为f′(1)＝3，所求切线方程为y＝3(x－1)，即3x－y－3＝0
(2)证明当a＝时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1(x≥1)，欲证：f(x)≥0，注意到f(1)＝0，只要f(x)≥f(1)即可，f′(x)＝a－1(x≥1)，令g(x)＝lnx＋＋1(x≥1)，则g′(x)＝－＝≥0(x≥1)，知g(x)在[1，＋∞)上单调递增，有g(x)≥g(1)＝2，所以f′(x)≥2a－1≥0，可知f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(1)＝0，综上，当a≥时，对任意的x≥1，f(x)≥0恒成立．2．(2018·潍坊模拟)已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax(a∈R)，g(x)＝ex＋x2
(1)讨论函数f(x)极值点的个数；(2)若对∀x>0，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝＋x＋a＝(x>0)，令f′(x)＝0，即x2＋ax＋1＝0，Δ＝a2－4，①当a2－4≤0，即－2≤a≤2时，x2＋ax＋1≥0恒成立，即f′(x)≥0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点，②当a2－4>0，即a2时，若a0，此时x∈(0，x1)，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(x1，x2)，f′(x)0，f(x)单调递增，故x1，x2分别为f(x)的极大值点和极小值点，因此a2，设方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1，x2，且x10，则f(x)在R上单调递增．当a0，得x0得x0得1－lnx－a>0，即ln
