高考数学总复习第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时 解三角形应用举例VIP免费

考情分析考点新知正余弦定理在应用题中的应用．能准确地建立数学模型，并能用正弦定理和余弦定理解决问题.1.(必修5P11习题4改编)若海上有A、B、C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B、C间的距离是________海里．答案：5解析：由正弦定理，知＝，解得BC＝5(海里)．2.(必修5P20练习第4题改编)江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.答案：10解析：如图，OA为炮台，M、N为两条船的位置，∠AMO＝45°，∠ANO＝60°，OM＝AOtan45°＝30，ON＝AOtan30°＝×30＝10，由余弦定理，得MN＝＝＝10(m)．3.(必修5P18例1改编)如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40m的C、D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则AB的距离是__________m.答案：20解析：由已知知△BDC为等腰直角三角形，故DB＝40；由∠ACB＝60°和∠ADB＝60°知A、B、C、D四点共圆，所以∠BAD＝∠BCD＝45°；在△BDA中，运用正弦定理可得AB＝20.4.(必修5P21习题2改编)某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________m.答案：10解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10.由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．5.如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．答案：mcosαcosβ>nsin(α－β)解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴∠AMB＝α－β.由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90°－β)＝>n，所以α与β满足mcosαcosβ>nsin(α－β)时船没有触礁危险．1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等．(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．[备课札记]题型1测量距离问题例1要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点，并且测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．解：△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝()2＋－2··cos75°＝5，∴AB＝km.故A、B之间的距离为km.设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A、B两点的距离．解：由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝＝50m.故A、B两点的距离为50m.题型2测量高度问题例2某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？解：(1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，解得H＝＝＝124.因此，算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d＝AB，...