课时分层作业二十三正弦定理和余弦定理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cosA=,则b等于()A.B.C.2D.3【解析】选D.在△ABC中由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(舍去).2.(2018·潍坊模拟)在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为cos2=,cos2=,所以(1+cosB)·c=a+c,所以a=cosB·c=,所以2a2=a2+c2-b2,所以a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形.3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是()A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定【解析】选C.因为=,所以sinB===>1,故此三角形无解.4.(2017·山东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解题指南】逆用两角和的正弦公式将原式化简,再结合正弦定理去判断.【解析】选A.2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sinB=sinB+2sinBcosC,即sinAcosC=2sinBcosC,由于△ABC为锐角三角形,所以cosC≠0,sinA=2sinB,由正弦定理可得a=2b.5.(2018·长沙模拟)在△ABC中,A=,b2sinC=4sinB,则△ABC的面积为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为b2sinC=4sinB,所以b2c=4b,即bc=4,故S△ABC=bcsinA=2.【变式备选】在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=,a=3,S△ABC=2,则b的值为()A.6B.3C.2D.2或3【解析】选D.因为S△ABC=2=bcsinA,所以bc=6,又因为sinA=,所以cosA=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccosA=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=________.【解析】由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,所以cosB=,又因为0
