高三数学（理）一轮复习 教案 第十四编 系列 4 选讲总第 69 期 §14.1 矩阵与变换基础自测1. = .答案 2. = .答案 3.设 a,b∈R,若矩阵 A=把直线 l：x+y-1=0 变成为直线 m:x-y-2=0，则 a= ，b= .答案 2 -14.先将平面图形作关于直线 y=x 的反射变换，再将它的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的三分之一，则整个变换可以用矩阵表示为 .答案 5.设 A=，B=，若 AB=BA，则 k= .答案 3例题精讲 例 1 已知变换 T 把平面上的点 A（2，0），B（3，1）分别变换成点 A′(2,1),B′(3,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M.解 设 M=，则有 M： →=·==，解得；M：→=·==，解得综上 ，M=.例 2 已知 O（0，0），A（2，1），O，A，B，C 依逆时针方向构成正方形的四个顶点.（1）求 B，C 两点的坐标；（2）把正方形 OABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 45°得到正方形 AB′C′O′，求 B′，C′，O′三点的坐标.解 （1）显然向量绕 O 点逆时针方向旋转 90°得向量，变换矩阵 M=.所以有=·=，即=（-1，2），C 点坐标是（-1，2）.用心 爱心 专心438又=+=（2，1）+（-1，2）=（1，3），所以 B 点坐标是（1，3）.（2）变换矩阵是 N=， =（-2，-1），=（-3，1），=（-1，2）.·=2232222222223.即=，=(-,2),AB′=∴=+=，点O′的坐标是（）,同理，点 C′的坐标是(2-,1+2),点 B′的坐标是.例 3 试从几何变换的角度求 AB 的逆矩阵.（1）A=，B=；（2）A=，B=.解 （1）矩阵 A 对应的是伸压变换，它将平面内的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，因此它的逆矩阵是 A-1=；同理，矩阵 B 对应的也是伸压变换，它将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的 4 倍，因此它的逆矩阵是 B-1=；所以（AB）-1=B-1A-1=·=.（2）矩阵 A 对应的是反射变换，它将平面内的点变为该点关于直线 x-y=0 的对称点，所以该变换的逆变换为其自身，A-1=；矩阵 B 对应的也是反射变换，它将平面内的点变换为与其关于原点对称的点，所以 B-1=；所以，（AB）-1=B-1A-1==.例 4 （14 分）已知二阶矩阵 M 有特征值 =8 及对应的一个特征向量 e1=，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.（1）求矩阵 M；（2）求矩阵 M 的另一个特征值及对应的一个特征向量 e2的坐标之间的关系.用心 爱心 专心439解 （ 1 ） 设 M=， 则=8=， 故 2...
