数 形 结 合 数（数量关系）和形（空间形式）是事物的两种表现形式，我们生活的世界就是一个数和形的世界，我们要认识两者的辨证关系，要认识到矛盾双方的相互转化，举一个简单的例子：黄金分割数。你是否留意过花瓣数与它的关系：3，5，8，13，21，34，…… 。同理，向日葵的叶片之间的夹角也与它有关系；报幕员站在舞台的位置也是在黄金分割点上；名画的主题，乐曲的高潮，人体的比例，生活体温、饮食；生物体的构造均符合黄金分割数——数和形的结合是数学美的最高境界。因此，我们根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使数和形之间巧妙和谐地结合起来，并利用这种“结合”找到解题思路。数形结合包括“以数助形”和“以形辅数”，下面我们从几个方面谈一下“以形辅数”在解题中的应用。一、数形结合中数轴和韦恩图的应用例一：若不等式|x-1|+|x-3|＞a 对一切实数 x 都成立，求实数 a 的取值范围。 • •1 • 例二：I 为全集，集合 M、N I，若 M N=N，则（ ） （A） （B）M （C） （D）MN 练习：A ={x |x +3x +2x >0} ,B =｛x |x +a x +b 0｝,且 A B =｛x |0-2｝,求 a 、b 的值。 练习：I=｛1，2，3，4，5｝，S T=｛2｝，=｛4｝，=｛1，5｝ 求 S、T 2 44 二、数形结合在方程问题中的应用 例三：求方程 2 = -x 的实数解的个数 例四：求方程 tgx=sinx 在 [0，10]上的解的个数 x法一：tgx ==sinx, sinx=0 或 cosx=1,解之及 x=0, π , 2π, 3π法二：数形结合 练习：求 lgx=sinx 在[0，10]上的解的个数。 1I 3T 42S1 5IMNyxyOx3·Oy x 练习：1、（2003 年高考题） 求使 log （-x）< x+1 成立的 x 的取值范围。 2、求方程 2 = x 的实数解的个数。 3、（2003 年高考题（7））已知方程 （x -2x+m）·（x -2x+n）= 0 的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=（ ） （A）1 （B） （C）（D） 分析：+（+d）+（+2d）+（+3d）=4, 则 d=。数形结合：知 y=x -2x+m 和 y=x-2x+n 有相同的对称轴 x=1,它们与 x 轴的四个交点依次为 A,B,C,D（如图）。因为 x=,则 x =,又因为 |AB|=|BC|=|CD|，所以 x =,x =。 y 2 4 x 例五：关于 x 的方程 lg（ax）=2 lg（x-1）有解，求实数 a 的取值范围。 解：原方程等价于 ax=（x-1 ） （x﹥1）思路一：原...
