指点因式分解中的创新题福建省厦门外国语学校 吴育文同学们,尽管因式分解作为初中的基本方法,但是针对因式分解仍可产生出许多新颖题目，下面就请同学们和我漫步浔洋，去探求知识的升华，去追求数学的美丽！创新点一：背景创新(创新例题剖析 1) (自编题)定义:已知两数 a、b,按规则 c=ab+a+b 扩充得到一个数 c 便称 c为“新数”，现有数 1 和 4 则下列说法中正确的是 .① 按上述规则操作三次后得到的最大新数 c*=49; ②2008 不是新数;③c+1 总能被 2 整除; ④c+1 总能被 10 整除; ⑤499 不可能是新数.(解析指导与评价)本题考查学生理解问题的能力和因式分解的综合能力.逐一进行判断:①c1=1×4+4+1=9 c2=9×4+4+9=49 c3=9×49+49+9=499,从而 c*=499;故① 错⑤错 ; 接下来就要求同学们能够细心观察了c=ab+a+b+1－1=(a+1)(b+1)－1=,从而 c+1=(a+1)(b+1),取 c 与 a 组成新数d= ac+a+c=(a+1)(c+1)－1=(a+1)(a+1)(b+1)－1=(a+1)2(b+1)－1,d+1=(a+1)2(b+1)取 c 与 b 组成新数e= bc+b+c=(b+1)(c+1)－1=(b+1)(b+1)(a+1)－1=(b+1)2(a+1)－1,e+1=(b+1)2(a+1)从而经过扩充后新数可以表示为 x+1=2m5n,故 2008 不是新数, c+1 总能被 2 整除且 c+1 总能被 10 整除，故②③④均正确答案: ②③④(同型衍变) (自编题)定义:对于多项式 C,若 C=A·B(A、B 均为多项式),当 A、B 不相同时,说(A,B)(B,A)是 C 的不同拆分,若 C=9x3+2x2－9x－2, 则 C 的拆分种数为( )A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种（答案）显然 C=9x3+2x2－9x－2=(x+1)(x－1)(9x+2) ,故两两配对合一种有三种选 C(创新例题剖析 2 ) (自编题)已知 a、b、c 是一个三角形的三边,则 a2+b2－c2+2ab 0(填写“大于” 、“小于”或“等于”)(解析指导与评价) a2+b2－c2+2ab=(a+b)2－c2=(a+b－c)(a+b+c)>0答案:填写大于(同型衍变) (自编题) 已知 a、b、c 是一个三角形的三边,已知 a2+c2+3b2+2ac－4ab－4bc=0,则 a+c 3b(填写“大于” 、“小于”或“等于”)答案: a2+c2+3b2+2ac－4ab－4bc=(a+c)2－4b(a+c) +3b2=(a+c－b)(a+c－3b) c=0,因为 a+c－b>0,则 a+c=3b.创新点二：应用能力新(创新例题剖析 3)求证:+++……+<1.(解析指导与评价)证明: +++……+=+++……+,用心 爱心 专心 因为=－,所以 +++……+=+++……+=1－+－+…+－ =1－<1 从而+++……+<1.(同型衍变) (自编题)求证: +++……+<1(k 为不小于 2 ...
