高考数学一轮复习 第十四单元 椭圆、双曲线、抛物线 高考达标检测（四十三）圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题 理试题VIP免费

高考达标检测（四十三）——圆锥曲线的综合问题定点、定值、探索性问题1.如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，其中一个顶点为B(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ.试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.解：(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得b＝1，且e2＝＝＝，解得a2＝4，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)直线PQ恒过定点．法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程代入x2＋4y2＝4，消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.则x1＋x2＝－，x1x2＝.①因为BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以·＝－1，整理得x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.②因为y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m，y1y2＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2.③将③代入②，整理得(1＋k2)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0.④将①代入④，整理得5m2－2m－3＝0.解得m＝－或m＝1(舍去)．所以直线PQ恒过定点.法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y＝kx＋1.将直线BP的方程代入x2＋4y2＝4，消去y，得(1＋4k2)x2＋8kx＝0.解得x＝0或x＝.设P(x1，y1)，所以x1＝，y1＝kx1＋1＝，所以P.以－替换点P坐标中的k，可得Q.从而，直线PQ的方程是＝.依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．在上述方程中，令x＝0，解得y＝－.所以直线PQ恒过定点.2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．解：(1)由题意知，e＝＝，＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，此时，原点O到直线AB的距离为.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，由OA⊥OB得kOA·kOB＝－1，即·＝－1，所以x1x2＋y1y2＝＝0，即m2＝(1＋k2)，所以原点O到直线AB的距离为＝.综上，原点O到直线AB的距离为定值.3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得EA2＋EA·AB为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．解：(1)由e＝，得＝，即c＝a，①又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且该圆与直线2x－y＋6＝0相切，所以a＝＝，代入①得c＝2，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝.根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得EA2＋EA·AB＝(EA＋AB)·EA＝EA·EB为定值，则EA·EB＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)＝，要使上式为定值，即与k无关，只需3m2－12m＋10＝3(m2－6)，解得m＝，此时，EA2＋EA·AB＝m2－6＝－，所以在x轴上存在定点E使得EA2＋EA·AB为定值，且定值为－.4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；(3)过椭圆C1：＋＝1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2＋y2＝的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，证明：＋为定值．解：(1)由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1，①又点P在椭圆C上，所以＋＝1，②由①②可解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，因为Δ＝16(12k2－3)>0，所以k2>，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为∠AOB...