高考达标检测（二十五）数列求和的3——种方法分组转化、裂项相消及错位相减一、选择题1．在公差大于0的等差数列{an}中，2a7－a13＝1，且a1，a3－1，a6＋5成等比数列，则数列(－1)n－1an的前21项和为()A．21B．－21C．441D．－441解析：选A设等差数列{an}的公差为d，d>0，由题意可得2(a1＋6d)－(a1＋12d)＝1，a1(a1＋5d＋5)＝(a1＋2d－1)2，解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以(－1)n－1an＝(－1)n－1(2n－1)，故数列(－1)n－1an的前21项和为1－3＋5－7…＋＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21.2．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3n，则其前20项和为()A．380－B．400－C．420－D．440－解析：选C令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2…＋＋a20＝2(1＋2…＋＋20)－3＝2×－3×＝420－.3．已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满足关系…＋＋＋＋＝，数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为()A．－454B．－450C．－446D．－442解析：选B由题意可得an＝2n－1…，因为＋＋＋＋＝，所以当n≥2…时，＋＋＋＋＝，两式相减可得＝－，则bn＝－(2n－1)·2n(n≥2)，当n＝1时，b1＝2，不满足上式，则S5＝2－12－40－112－288＝－450.4．已知数列{an}………：，＋，＋＋，，＋＋＋＋，，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn＝()A.B.C.D.解析：选B由题意知an…＝＋＋＋＋＝，则bn＝＝＝4，所以Sn＝4＝4＝.5．(2018·福州质检)已知数列{an}中，a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，则＝()A.B.C．2D.解析：选D令m＝1，则an＋1＝a1＋an＋n.又a1＝1，所以an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，所以a2－a1＝2，a3－a2＝3…，，an－an－1＝n(n≥2)，把以上n－1个式子相加，得an－a1＝2＋3…＋＋n，所以an＝1＋2＋3…＋＋n＝，当n＝1时，上式也成立，所以an＝，所以＝＝2，所以＝2…＋＋＋＝2＝.6．数列{an}为非常数列，满足：a1＝，a5＝，且a1a2＋a2a3…＋＋anan＋1＝na1an＋1对任何的正整数n…都成立，则＋＋＋的值为()A．1475B．1425C．1325D．1275解析：选B因为a1a2＋a2a3…＋＋anan＋1＝na1an＋1，所以当n≥2时，a1a2＋a2a3…＋＋an－1an＝(n－1)a1an，两式相减可得anan＋1＝na1an＋1－(n－1)a1an，即＝－，则＝－，则－＝－，即＋＝，即数列是等差数列，则公差d＝1，则＝53…，则＋＋＋＝＝1425.二、填空题7．(2018·陕西一检)已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________．解析：由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)…＋＋(a98＋a99)＝2＋2＋3…＋＋50＝1276， a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，∴a1＋a2…＋＋a100＝1276＋13＝1289.答案：12898．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2018＝________.解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1…，，故该数列为周期是4的数列，所以S2018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝504×(－2)＋1－2＝－1009.答案：－10099．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，则S33的值是________．解析： 2a＝a＋a(n≥2)，∴数列{a}为首项为1，公差为22－1＝3的等差数列，∴a＝1＋3(n－1)＝3n－2.∴an＝，∴bn＝＝＝(－)，∴数列{bn}的前n项和为Sn＝[(－1)＋(－)…＋＋(－)]＝(－1)．则S33＝(10－1)＝3.答案：3三、解答题10．(2018·西安八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝－3，S10＝－40.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8…，，2n…，项，按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1) a5＝a1＋4d＝－3，S10＝10a1＋45d＝－40，解得a1＝5，d＝－2.∴an＝－2n＋7.(2)依题意，bn＝a2n＝－2×2n＋7＝－2n＋1＋7，故Tn＝－(22＋23…＋＋2n＋1)＋7n＝－＋7n＝4＋7n－2n＋2.11．已知等比数列{an}的公比q>1，且a1＋a3＝20，a2＝8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Sn是数列{bn}的前n项和，...
