高考达标检测（三十三）圆的方程命题3——角度求方程、算最值、定轨迹一、选择题1．原点位于圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(a>1)的()A．圆内B．圆上C．圆外D．均有可能解析：选C把原点坐标代入圆的方程得(a－1)2>0(a>1)，所以点在圆外，故选C.2．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析：选D由题意知x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝.又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y＝－x和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.3．(2018·广州测试)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1解析：选A 圆心(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.4．一束光线从点(－1,1)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径长度是()A．4B．5C．3D．2解析：选A由题意可得圆心C(2,3)，半径为r＝1,点A关于x轴的对称点为A′(－1，－1),求得|A′C|＝5,故要求的最短路径的长为|A′C|－r＝5－1＝4.5．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是()A.B．1C.D.解析：选C因为圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线3x＋4y－2＝0的距离d＝＝，所以点N到点M的距离|MN|的最小值为－1＝.6．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是()A．(4,6)B．[4,6]C．[4,6)D．(4,6]解析：选A易求圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离为5.令r＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r取值范围在(4,6)之间符合题意．7．已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为()A．x2＋2＝B．x2＋2＝C.2＋y2＝D.2＋y2＝解析：选C设圆的方程为(x±a)2＋y2＝r2(a>0)，圆C与y轴交于点A(0,1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝∠ACB＝×120°＝60°，则tan60°＝＝＝，所以a＝|OC|＝，即圆心坐标为，r2＝|AC|2＝12＋2＝.所以圆的方程为2＋y2＝.8．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4解析：选B根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.二、填空题9．在平面直角坐标系内，若圆C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为____________．解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知解得a<－2，故实数a的取值范围为(∞－，－2)．答案：(∞－，－2)10．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意知，圆的半径r＝＝≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tanα＝－1，又α∈[0，π)，故α＝.答案：11．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心在直线ax－by＋1＝0上，则ab的取值范围是__________．解析：把圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax－by＋1＝0上，把圆心坐标代入直线方程得，－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b，则ab＝(1－2b)b＝－2b2＋b＝－22≤＋，当b＝时，ab有最大值，故ab的取值范围为.答案：12．已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上的动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为______...
