高考达标检测（十一）导数运算是基点、几何意义是重点一、选择题1．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()A．－1B.C．－2D．2解析：选A y′＝，∴y′x＝＝－1，由条件知＝－1，∴a＝－1.2．(2018·衡水调研)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2解析：选A y＝1－＝，∴y′＝＝，y′x＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.3．(2018·济南一模)已知曲线f(x)＝lnx的切线经过原点，则此切线的斜率为()A．eB．－eC.D．－解析：选C法一： f(x)＝lnx，x∈(0∞，＋)，∴f′(x)＝.设切点P(x0，lnx0)，则切线的斜率为k＝f′(x0)＝＝kOP＝.∴lnx0＝1，∴x0＝e，∴k＝＝.法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y＝lnx及曲线y＝lnx经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C.4．已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为()A．－1B．－3C．－4D．－2解析：选D f′(x)＝，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴直线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，又因为y0＝x＋mx0＋(m＜0)，解得m＝－2，故选D.5．(2018·南昌二中模拟)设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处切线倾斜角α的取值范围为()A.∪B.C.∪D.解析：选C因为y′＝3x2≥－－，故切线斜率k≥－，所以切线倾斜角α的取值范围是∪.6．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为()A．x＋4y－2＝0B．x－4y＋2＝0C．4x＋2y－1＝0D．4x－2y－1＝0解析：选Ay′＝＝，因为ex＞0，所以ex≥＋2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4，故y′≥＝－(当x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.故选A.二、填空题7．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：由题意，当x>0时，则－x<0，f(x)＝f(－x)＝lnx－3x，则f′(x)＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线的斜率f′(1)＝－2，则切线方程为y－(－3)＝－2(x－1)，即2x＋y＋1＝0.答案：2x＋y＋1＝08．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．解析： y′＝，∴k＝，∴切线方程为y＝(x－1)，令y＝0，得x＝1，令x＝0，得y＝－，∴所求三角形面积为S＝×1×＝.答案：9．(2017·东营一模)函数f(x)＝xlnx在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．解析： f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，即f′(x0)＝1⇔lnx0＋1＝1⇔lnx0＝0⇔x0＝1，∴f(x0)＝1·ln1＝0，∴P(1,0)．答案：(1,0)10．设过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝mx－3sinx上的一点处的切线l2，使l1⊥l2，则m的取值范围是________．解析：设曲线f(x)上任意一点A(x1，y1)，曲线g(x)上存在一点B(x2，y2)，f′(x)＝－ex－1，g′(x)＝m－3cosx.由题意可得f′(x1)g′(x2)＝－1，且f′(x1)＝－ex1－1∈(∞－，－1)，g′(x2)＝m－3cosx2∈[m－3，m＋3]．因为过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝mx－3sinx上的一点处的切线l2，使l1⊥l2，所以(0,1)⊆[m－3，m＋3]，所以m－3≤0，且m＋3≥1，解得－2≤m≤3.答案：[－2,3]三、解答题11．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1∞，＋)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由题意，及(1)可知，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(∞－...
