课时分层作业七十六证明不等式的基本方法(45分钟60分)1.(10分)已知a>0,b>0,求证:+≥+.【证明】因为-(+)=+=+==≥0,所以原不等式成立.【一题多解】由于÷(+)===-1≥-1=1.又a>0,b>0,>0.所以+≥+.2.(10分)已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:++>3.【解题指南】根据a,b,c全不相等,推断出与,与,与全不相等,然后利用基本不等式求得+>2,+>2,+>2,三式相加整理求得++>3,原式得证.【证明】因为a,b,c全不相等,所以与,与,与全不相等,所以+>2,+>2,+>2,三式相加得,+++++>6,所以++>3,即++>3.【变式备选】(2018·南阳模拟)已知函数f(x)=k-|x-3|,k∈R,且f(x+3)≥0的解集为[-1,1].(1)求k的值.(2)若a,b,c是正实数,且++=1,求证:a+2b+3c≥9.【解析】(1)因为f(x)=k-|x-3|,所以f(x+3)≥0等价于|x|≤k,由|x|≤k有解,得k≥0,且解集为[-k,k].因为f(x+3)≥0的解集为[-1,1].因此k=1.(2)由(1)知++=1,因为a,b,c为正实数.所以a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)=3++++++=3+++≥3+2+2+2=9.当且仅当a=2b=3c时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.3.(10分)已知x>0,y>0,且x+y=1,求证:·≥9.【解题指南】可将所证不等式左边展开,运用已知和基本不等式可得证,也可以用x+y取代“1”,化简左边,然后再用基本不等式.【证明】因为x>0,y>0,所以1=x+y≥2.所以xy≤.所以=1+++=1++=1+≥1+8=9.当且仅当x=y=时,等号成立.【一题多解】因为x+y=1,x>0,y>0,所以===5+2≥5+2×2=9.当且仅当x=y=时,等号成立.4.(10分)某同学在一次研究性学习中发现,以下5个不等关系式子①-1>2-;②2->-;③->-2;④-2>-;⑤->2-.(1)上述五个式子有相同的不等关系,根据其结构特点,请你再写出一个类似的不等式.(2)请写出一个更一般的不等式,使以上不等式为它的特殊情况,并证明.【解析】(1)-2>-3(答案不唯一).(2)->-.证明:要证原不等式,只需证+>+,因为不等式两边都大于0,只需证2a+3+2>2a+3+2,只需证>,只需证a2+3a+2>a2+3a,只需证2>0,显然成立,所以原不等式成立.5.(10分)已知α∈(0,π),求证:2sin2α≤.【证明】2sin2α-=4sinαcosα-==-,因为α∈(0,π),所以sinα>0,1-cosα>0,又(2cosα-1)2≥0,所以2sin2α-≤0,所以2sin2α≤.6.(10分)(2018·泉州模拟)设a,b为正实数,且+=2.(1)求a2+b2的最小值.(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.【解析】(1)由2=+≥2得ab≥,当a=b=时取等号.故a2+b2≥2ab≥1,当a=b=时取等号.所以a2+b2的最小值是1,当且仅当a=b=时取得最小值.(2)由(a-b)2≥4(ab)3得≥4ab.即-≥4ab,从而ab+≤2.又ab+≥2,当且仅当ab=1时取等号.所以ab=1.
