高考数学一轮复习 选考部分 坐标系与参数方程 高考达标检测（五十七）坐标系 理试题VIP专享VIP免费

高考达标检测（五十七）坐标系1．在极坐标系中，直线ρ(sinθ－cosθ)＝a与曲线ρ＝2cosθ－4sinθ相交于A，B两点，若|AB|＝2，求实数a的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x－y＋a＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，所以圆心C的坐标为(1，－2)，半径r＝，所以圆心C到直线的距离为＝＝，解得a＝－5或a＝－1.故实数a的值为－5或－1.2．在极坐标系中，求直线ρcos＝1与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标．解：ρcos＝1化为直角坐标方程为x－y＝2，即y＝x－2.ρ＝4sinθ可化为x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，所以x＝，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.3．(2018·长春模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；因为ρ2－2ρcos＝2，所以ρ2－2ρ＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsin＝.4．已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C相交于异于原点的两点A，B，求△AOB的面积．解：(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数)，∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，将代入并化简得ρ＝4cosθ＋2sinθ，即曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋2sinθ.(2)在极坐标系中，C：ρ＝4cosθ＋2sinθ，∴由得|OA|＝2＋1，同理：|OB|＝2＋.又∵∠AOB＝，∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝，即△AOB的面积为.5．在坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，直线l：ρcosθ－＝，C与l有且只有一个公共点．(1)求a的值；(2)若原点O为极点，A，B为曲线C上两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．解：(1)由已知在直角坐标系中，C：x2＋y2－2ax＝0⇒(x－a)2＋y2＝a2(a>0)；l：x＋y－3＝0.因为C与l只有一个公共点，所以l与C相切，即＝a，则a＝1.(2)设A(ρ1，θ)，则B，∴|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ＝2cos.所以，当θ＝－时，(|OA|＋|OB|)max＝2.6．在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＋y－4＝0，曲线C2：x2＋(y－1)2＝1，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若曲线C3的极坐标方程为θ＝α，且曲线C3分别交C1，C2于点A，B，求的最大值．解：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1：ρcosθ＋ρsinθ－4＝0，C2：ρ＝2sinθ.(2)曲线C3为θ＝α，设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，ρ1＝，ρ2＝2sinα，则＝＝×2sinα(cosα＋sinα)＝2sin2α－＋1，∴当α＝时，max＝.7．平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为＋y2＝1，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin，射线OM的极坐标方程为θ＝α0(ρ≥0)．(1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若射线OM平分曲线C2，且与曲线C1交于点A，曲线C1上的点满足∠AOB＝，求|AB|.解：(1)曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，曲线C2的直角坐标方程为(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)曲线C2是圆心为(，1)，半径为2的圆，∴射线OM的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，代入ρ2＝，可得ρ＝2.又∠AOB＝，∴ρ＝，∴|AB|＝＝＝.8．已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．解：(1)作出图形如图所示，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcosθ－＝4，∴圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cosα，＋2sinα)，设M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，得点M的轨迹的参数方程为(α为参数)，即(α为参数)，∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.