江西省横峰中学高中数学教学案：选修 2-1 第三章 第四课 抛物线的几何性质知识与技能目标使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力过程与方法目标复习与引入过程1．抛物线的定义是什么？请一同学回答．应为：“平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是 y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和 x2=-2py(p＞0)．下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标 准方程 y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．《板书》抛物线的几何性质（2）新课讲授过程（i）抛物线的几何性质通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为 1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了（ii）例题讲解与引申例题 3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M(-3，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为 y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上的点 M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得 p=4．因此，所求抛物线方程为 y2=-8x．又点 M(-3，m)在此抛物线上，故 m2=-8(-3)．解法二：由题设列两个方程，可求得 p 和 m．由学生演板．由题意在抛物线上且|MF|=5，故1例 4 过抛物线 y2=2px(p＞0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、B 两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图 2-34)．证明：(1)当 AB 与 x 轴不垂直时，设 AB 方程为：此方程的两根 y1、y2 分别是 A、B 两点的纵坐标，则有 y1y2=-p2．2
