圆锥曲线的错解例析●濮阳市第一高级中学 吉晓波 邮编：457000圆锥曲线是高中数学的重点内容，也是高考命题的一个热点．圆锥曲线题目涉及知识面广，综合性强，在解题过程中稍有疏忽就会出现错误．本文例析常见的错误解法并进行错因剖析:一、对圆锥曲线的定义理解不清楚例 1 、 平 面 内 一 点 P 到 定 点的距离之差的绝对值等于10，则点 P 的轨迹为（ ）A.双曲线 B.椭圆 C. 两条射线 D.线段错解：根据双曲线的定义知，点 P 的轨迹是双曲线，故选 A错解分析：双曲线定义中，动点与两定点的距离之差的常数必须小于两定点之间的距离，即2a<2c，而本题中，因此点 P 的轨迹不是双曲线正解：由可知，点 P的轨迹为以为端点的两条射线评注：解决此类问题的关键是正确理解圆锥曲线的第一和第二定义二、焦点位置不清或简单的换 a、b例 2、求长轴是短轴的 3 倍，且经过点P（6,0）的椭圆方程.错解：设焦点在ｘ轴上时方程为，则由题意有.∴方程为. 交换ａ，ｂ得焦点在ｙ轴上的方程为.故 所 求 椭 圆 方 程 有 两 个和错解分析：教材上讲解圆锥曲线的定义时，指出圆锥曲线的焦点所在轴不同，方程也不同.本题简单的交换就得到另一方程，导致错解正解：设焦点在ｘ轴上时方程为，则由题意有.∴方程为.设焦点在ｙ轴上时方程为，则由题意有，从而这时方程为. 故满足条件的椭圆方程有两个：和.评注：解决此类问题要注意：如果焦点的位置不确定，曲线形状不改变，则可简单机械地交换，否则就要重新设标准方程再进行推算，最好的做法是都设再分别求.三、误用判别式致错例 3、已知双曲线 C：，过点P（1,1）作直线ｌ，使得ｌ与 C 有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线ｌ共有（ ）A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条错解：设直线ｌ的方程为ｙ－1＝ｋ（ｘ－1），即ｙ＝ｋｘ－ｋ＋1，与联立消去ｙ得（4－ｋ 2）ｘ 2＋（2 ｋ 2－2 ｋ）ｘ－ｋ 2＋2 ｋ－5＝0.要直线ｌ与 C 有且仅有一个公共点，必须△＝（2 ｋ 2－2 ｋ）2－4（4－ｋ 2）（－ｋ 2＋2 ｋ用心 爱心 专心 115 号编辑－5）＝0，解得ｋ＝. 故满足条件的直线ｌ只有一条，选 A.错解分析：以上解法有三个问题，一是双曲线与直线只有一个交点，除了利用△＝0 得出相切的一条外，还有与渐近线平行的直线也与双曲线只有一个交点；二是利用△＝0 时，必须以一元二次方程的二次项系数不为零为前提；三是设直线点斜式时，还要考虑斜率不存在的情况....
