1．1.2 导数的概念 【学习目标】理解导数的概念并会运用概念求导数【重点难点】导数的概念以及求导数一、自主学习要点 1 瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 时，函数 f(t)在 t0到 t0＋Δt 之间的平均变化率 趋近于常数，这个常数称为 t0时刻的瞬时速度．要点 2 瞬时变化率函数 f(x)从 x0到 x0＋Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限，即lim ＝ 称为 f(x)在 x0处的瞬时变化率．要点 3 导数y＝f(x)在 x＝x0处的 称为 y＝f(x)在 x0处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x ＝x0，即 f′(x0)＝lim ＝lim .要点 4 求导数的步骤由导数定义，我们可以得到求函数 y＝f(x)在点 x0处的导数的步骤：(1)求函数的增量 Δy＝ ；( 2)求平均变化率＝；(3)取极限得导数 f′(x0)＝ .二、合作，探究，展示，点评题型一 瞬时速度例 1 一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度；(3)求 t＝0到 t＝2 之间的平均速度．思考题 1 若本例中物体运动方程改为 s＝3t2＋2，求解第(1)(2)问．题型二 导数的概念(1)① 求 y=x2在点 x＝3 处的导数．(2)已知 f(x)＝x·(x－1)·(x－2)…(x－50)，求 f′(0)．思考题 2 (1)已知 y＝，则 y′|x＝1＝________.(2)已知 f(x)＝x3－x2＋2x，则 f′(0)＝________.题型三 转化与化归1例 3 若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求 lim 思考题 3 设函数 f(x)在点 x0处可导，求 lim 的值．题型四 导数的应用例 4 枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是 a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出所用的时间为 1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．思考题 4 路灯距地面 8 m，一个身高 1.6 m 的人以 84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影 C 沿某直线离开路灯，(1)求射影的长度 y 与人距路灯的距离 x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第 10 秒时身影的瞬时变化率．2题型五 利用导数的定义求参数的值例 5 设 f(x)＝ax3＋2，若 f′(－1)＝3，则 a＝( )A．－1 B.C．1 D.思考题 5 质点按规律 s(t)＝at2＋1 做直线运动(s 单位：m，t 单位：s)．若质点在 t＝2 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数 a 的值．三、知识小结对导数概念的理解(1)Δx→0 是指 Δx 从 0 的左右两侧分别趋向于 0，但永远不会为 0.(2)若lim 存在，则称 f(x)在 x＝x0处可导，并且导数即为极限值．(3)令 x＝x0＋Δx，得 Δx＝x－x0，于是 f′(x0)＝lim ，与概念中的 f′(x0)＝lim 意义相同． 3
