2．4.3 抛物线的几何性质（二） 【学习目标】进一步理解并应用抛物线的几何性质，掌握直线与抛物线的位置关系【重点难点】直线与抛物线的位置关系的判断及相关应用一、自主学习要点 1.直线与抛物线的交点问题要解决直线与抛物线的位置关系问题，可把直线方程与抛物线方程联立，消去 y(或消去 x)得出关于 x(或关于 y)的一个方程 Ax2＋Bx＋C＝0，其中二次项系数 A 有可能为 0，此时直线与抛物线有一个交点．当二次项系数 A≠0 时，Δ＝B2－4AC.若 Δ＜0，则直线与抛物线没有公共点；若 Δ＝0，则直线与抛物线有且只有一个公共点；若 Δ＞0，则直线与抛物线有两个不同的公共点．要点 2.过焦点的弦的问题若直线过 y2＝2px(p＞0)的焦点与抛物线交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，F 为抛物线的焦点，则|AF|＝x1＋， |BF|＝x2＋.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，这是过焦点的弦的弦长公式.二、合作，探究，展示，点评题型一 直线与抛物线的位置关系例 1 求过定点 P(0,1)且与抛物线 y2＝2x 只有一个公共点的直线方程．思考题 1 (1)直线 l：y＝kx＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值时，l 与 C 相切、相交、相离．(2)若直线 y＝kx＋k＋1 与抛物线 y2＝2x 只有一个交点，求实数 k 的取值范围．题型二 求弦长例 2 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分．(1)求 AB 所在直线方程；(2)求|AB|的长．思考题 2 (1)抛物线 y2＝12x 截直线 y＝2x＋1 所得弦长等于________．(2)抛物线 y2＝6x，过点 P(4,1)引一弦，使它恰好被点 P 平分，求这条弦所在的直线方程．题型三 焦点弦问题例 3 过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，证明：＋＝.思考题 3 (1)设抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BC∥x 轴．（1）证明：直线 AC 经过原点 O.(2)过抛物线 y2＝4ax(a＞0)的焦点 F，作互相垂直的两条焦点弦 AB 和 CD，求|AB|＋|CD|的最小值．1题型四 定点弦问题例 4 求证：如图所示，抛物线 y2＝2px(p＞0)的动弦 AB 恒过定点 M(2p,0)的充要条件是 kOA·kOB＝－1.思考题 4 (1)求证：若 M(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p＞0)的弦 AB 的中点，则直线 AB 的斜率为kAB＝.(2)抛物线 y2＝2px 上有两动点 A，B 和一定点 M(a，b)与抛物线焦点 F 的距离|AF|，|MF|，|BF|...
