专题十 切线的判定与性质的综合应用(针对四川中考与圆有关的证明、计算)1．(2025·眉山预测)如图，AB 是⊙O 的直径，CB 是⊙O 的弦，D 是AC的中点，过点 D作直线 EF 与 BC 垂直，交 BC 延长线于 E 点，且交 BA 延长线于 F 点．(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若 tanB＝，BE＝6，求⊙O 的半径．解：(1)连接 OD， D 是AC的中点，∴∠AOD＝∠B，∴OD∥BC， EF⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠ODF＝90°， OD 为⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线 (2)设⊙O 的半径为 r，则AO＝OB＝OD＝r， ∠AOD＝∠B，tanB＝，∴DF＝， ＝，BE＝6，∴EF＝2，又 EF2＋BE2＝BF2，∴BF＝8， OD∥BC，∴△ODF∽△BEF，∴＝， OF＝BF－OB＝8－r，∴＝解得 r＝2．(导学号 14952496)(2025·东营)如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的圆交 AC 于点D，∠ABD＝∠ACB.(1)求证：AB 是圆的切线；(2)若点 E 是 BC 上一点，已知 BE＝4，tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径．解 ： (1) BC 是 直 径 ， ∴ ∠ BDC ＝ 90° ， ∴ ∠ ACB ＋ ∠ DBC ＝ 90°. ∠ABD ＝∠ACB，∴∠ABD＋∠DBC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC， BC 为圆的直径，∴AB 是圆的切线 (2)在 Rt△AEB 中，tan∠AEB＝，＝，即 AB＝BE＝，在 Rt△ABC 中，＝，∴BC＝AB＝10，∴圆的直径为 103．(导学号 14952497)(2025·内江预测)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且 BD＝BC，延长 AD 到 E，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)若 BC＝，AC＝5，求圆的直径 AD 及切线 BE 的长．解：(1)连接 OB， BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD， ∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD. AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°， 点 B 在⊙O 上，∴BE 是⊙O 的切线 (2)设圆的半径为 R，连接CD 交 OB 于 点 F ， AD 为 ⊙ O 的 直 径 ， ∴ ∠ ACD ＝ 90° ， BC ＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC， OA＝OD，∴OF＝AC＝. 四边形 ACBD 是圆内接四边形．∴∠BDE＝∠ACB， ∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴＝，∴＝∴DE＝， ∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴＝，∴＝， R＞0，∴R＝3，∴AB＝＝， ＝，∴BE＝4．(导学号 14952498)(2025·宜宾)如图 1，在△APE 中，∠PAE＝90°，PO 是△APE的角平分线...
