中考数学专题训练六直角三角形的应用

2025 中考数学专题训练(六)直角三角形的应用解直角三角形的应用是中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．类型 1 仰角、俯角问题【例 1】(2025 宜宾中考)如图，CD 是一高为 4 m 的平台，AB 是与 CD 底部相平的一棵树，在平台顶 C 点测得树顶 A 点的仰角 α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进 3 m 到达点 E，在点 E 处测得树顶 A 点的仰角 β＝60°，求树高 AB.(结果保留根号)【解析】作 CF⊥AB 于点 F，构造 Rt△求解．【学生解答】解：作 CF⊥AB 于点 F，设 AF＝x m，在 Rt△ACF 中，tan∠ACF＝，则 CF＝＝＝＝x，在 Rt△ABE中，AB＝x＋BF＝(4＋x)m，在 Rt△ABE 中，tan∠AEB＝，则 BE＝＝＝(x＋4)m. CF－BE＝DE，即 x－(x＋4)＝3.解得 x＝.则 AB＝＋4＝(m)．答：树高 AB 是 m.针对练习1．(2025 茂名中考)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆 CD 的高度，先在教学楼的底端 A 点处，观测到旗杆顶端 C 的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的 B 处，观测到旗杆底端 D 的俯角是 30°，已知教学楼AB 高 4 m.(1)求教学楼与旗杆的水平距离 AD；(结果保留根号)(2)求旗杆 CD 的高度．解：(1) 教学楼 B 点处观测到旗杆底端 D 的俯角是 30°，∴∠ADB＝30°，在 Rt△ADB 中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4 m，∴AD＝＝＝4(m)．答：教学楼与旗杆的水平距离是 4 m；(2) 在 Rt△ACD 中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4 m，∴CD＝AD·tan60°＝4×＝12(m)．答：旗杆 CD 的高度是 12 m.2．(2025 泸州中考)如图，为了测量出楼房 AC 的高度，从距离楼底 C 处 60 m 的点 D(点 D 与楼底 C 在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为 i＝1∶的斜坡 DB 前进 30 m 到达点 B，在点 B 处测得楼顶 A 的仰角为 53°，求楼房 AC的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值)解：如图，作 BN⊥CD 于点 N，BM⊥AC 于点 M.在 Rt△BDN 中，BD＝30，BN∶ND＝1∶，∴BN＝15，DN＝15， ∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，∴四边形 CMBN 是矩形，∴...