初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例轴对称最值图形原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B 为定点，l 为定直线，P 为直线 l 上的一个动点，求 AP+BP的最小值A，B 为定点，l 为定直线，MN 为直线 l 上的一条动线段，求 AM+BN 的最小值A，B 为定点，l 为定直线，P 为直线 l 上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线 l 的对称点先平移 AM 或 BN 使M，N 重合，然后作其中一个定点关于定直线 l 的对称点作其中一个定点关于定直线 l 的对称点折叠最值图形原理两点之间线段最短特征在△ABC 中，M，N 两点分别是边 AB，BC 上的动点，将△BMN 沿 MN 翻折，B 点的对应点为 B'，连接 AB'，求 AB'的最小值．转化转化成求 AB'+B'N+NC 的最小值二、典型题型1．如图：点 P 是∠AOB 内一定点，点 M、N 分别在边 OA、OB 上运动，若∠AOB=45°，OP=，则△PMN 的周长的最小值为 ．【分析】作 P 关于 OA，OB 的对称点 C，D．连接 OC，OD．则当 M，N 是 CD 与 OA，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是 CD 的长．根据对称的性质可以证得：△COD 是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作 P 关于 OA，OB 的对称点 C，D．连接 OC，OD．则当 M，N 是 CD 与 OA，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是 CD 的长． PC 关于 OA 对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD 是等腰直角三角形．则 CD=OC=×3=6．【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN 周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a= ．【分析】因为 AB，PN 的长度都是固定的，所以求出 PA+NB 的长度就行了．问题就是 PA+NB 什么时候最短．把 B 点向左平移 2 个单位到 B′点；作 B′关于 x 轴的对称点 B″，连接 AB″，交 x 轴于...
