单调性与最大（小）值 【学习目标】1.理解函数的单调性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．【要点梳理】要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念一般地，设函数 f(x)的定义域为 A，区间如果对于内的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1f(x2)，那么就说 f(x)在区间上是减函数.要点诠释：（1）属于定义域 A 内某个区间上；（2）任意两个自变量且；（3）都有；（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数 f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数 f(x)在区间上具有单调性，称为函数 f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.要点诠释：① 单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；② 单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③ 不能随意合并两个单调区间；④ 有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？基本方法：观察图形或依据定义.3．函数的最大（小）值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1)对于任意的，都有（或）；(2) 存在，使得，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）.要点诠释：① 最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值；② 对于定义域内的任意元素，都有（或），“任意”两字不可省；③ 使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个；④ 函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.4.证明函数单调性的步骤(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与 1 的大小关系；(4)得出结论.5.函数单调性的判断方法(1)定义法；(2)图象法；(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数．要点二、基本初等函数的单调性 1．正比例函数当 k>0 时，函数在定义域 R 是增函数；当 k<0 时，函数在定义域 R 是减函数.2．一次...
