对数及对数运算【学习目标】1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2.了解常用对数与自然对数的意义；3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．【要点梳理】要点一、对数概念1.对数的概念如果，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作:logaN=b.其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数.要点诠释：对数式 logaN=b 中各字母的取值范围是：a>0且 a1， N>0， bR.2.对数具有下列性质：(1)0 和负数没有对数，即；(2)1 的对数为 0，即；(3)底的对数等于 1，即.3．两种特殊的对数通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，.以 e（e 是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， .4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化 .它们的关系可由下图表示.由此可见 a，b，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.要点二、对数的运算法则已知(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然 log2(-3)(-5)是存在的，但 log2(-3)与log2(-5)是不存在的.（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：loga(MN)=logaMlogaN，loga(M·N)=logaM·logaN，loga.要点三、对数公式1．对数恒等式：2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 a>0， a≠1， M>0 的前提下有:(1) 令 logaM=b， 则有 ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.【典型例题】类型一、对数的概念例 1.求下列各式中的取值范围：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）且【解析】（1）由题意，，即为所求．（2）由题意即．（3）由题意解得且．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，...
