同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案

同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案 习题 1?11. 设 A?∞, ?5∪5, +∞, B[?10, 3, 写出 A∪B, A∩B, A\B 及 A\A\B 的表达式解 A∪B?∞, 3∪5, +∞, A∩B[?10, ?5, A\B?∞, ?10∪5, +∞, A\A\B[?10, ?5C C C2. 设 A、B 是任意两个集合, 证明对偶律: A∩B A ∪B 证明 因为 C C C C Cx∈A∩B ?x?A∩B? x?A 或 x?B? x∈A 或 x∈Bx∈A ∪B ,C C C 所以 A∩B A ∪B 3. 设映射 f : X →Y, A?X, B?X 证明 1fA∪BfA∪fB; 2fA∩B?fA∩fB 证明 因为 y∈fA∪B??x∈A∪B, 使 fxy?因为 x∈A 或 x∈B y∈fA 或 y∈fB? y∈ fA∪fB,所以 fA∪BfA∪fB 2 因为 y∈fA∩Bx∈A∩B, 使 fxy?因为 x∈A 且 x∈B y∈fA 且 y∈fB? y∈ fA∩fB, 所以 fA∩B?fA∩fB 4. 设映射 f : X→Y, 若存在一个映射 g: Y→X, 使 g f I , f g I , 其中 I 、I 分别是 X、X YX YY 上的恒等映射, 即对于每一个 x∈X, 有 I xx; 对于每一个 y∈Y, 有 I yy. 证明: f 是双射, 且 gX Y?1是 f 的逆映射: gf 证明 因为对于任意的 y∈Y, 有 xgy∈X, 且 fxf[gy]I yy, 即 Y 中任意元素都是 X 中某y元素的像, 所以 f 为 X 到 Y 的满射 又因为对于任意的 x ≠x , 必有 fx ≠fx , 否则若 fx fx ?g[ fx ]g[fx ]x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射 对于映射 g: Y→X, 因为对每个 y∈Y, 有 gyx∈X, 且满足 fxf[gy]I yy, 按逆映射的y定义, g 是 f 的逆映射 5. 设映射 f : X→Y, A?X 证明: ?1 1f fA?A; ?1 2 当 f 是单射时, 有 f fAA ?1 ?1 证明 1 因为 x∈Afxy∈fAf yx∈f fA, ?1所以 f fA?A1 2 由 1 知 f fA?A1 ?1 另一方面, 对于任意的 x∈f fA?存在 y∈fA, 使 f yx?fxy 因为 y∈fA 且 f 是单 1 ?1射, 所以 x∈A. 这就证明了 f fA?A. 因此 f fAA6. 求下列函数的自然定义域: 1 y 3x+2 ; 2 2 解 由 3x+2≥0 得 x 函数的定义域为[? , +∞ 3 31 2 y ; 21?x2 解 由 1?x ≠0 得 x≠±1 函数的定义域为?∞, ?1∪?1, 1∪1, +∞12 3 y 1?x ; x2 解 由 x≠0 且 1?x ≥0 得函数的定义域 D[?1, 0∪0, 1]1 4 y ; 24?x2 解 由 4?x 0 得 |x|2 ...