听课随笔第十一课时 函数的奇偶性（2）【学习导航】 学习要求 1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．【精典范例】一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导：例 1 ： 已 知 y=f(x) 是 奇 函 数 ， 它 在(0，+∞)上是增函数，且 f(x)<0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论思维分析：根据函数单调性的定义，可以设 x1－x2>0因为 y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0，所以 f(－x2)f(x1)>0于是 F(x1) －F(x2)= －所以 F(x)=在(－∞，0)上是减函数。说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设．二．利用函数奇偶性求函数解析式：例 2：已知是定义域为的奇函数，当x>0 时，f(x)=x|x－2|，求 x<0 时，f(x)的解析式．3：定义在（－2，2）上的奇函数在整个定义域上是减函数，若 f(m－1)+f(2m－1)>0，求实数 m 的取值范围．追踪训练一1.设是定义在 R 上的偶函数,且在[0，+∞)上是减函数,则 f(－)与 f(a2－a+1)（）的大小关系是 （ ） A． f(－)f(a2－a+1)D．与 a 的取值无关2. 定 义 在上 的 奇 函 数，则常数 ， ；3. 函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数 a 的范围。思维点拔：一、函数奇偶性与函数单调性关系 若函数是偶函数，则该函数在关于＂０＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数若函数是奇函数，则该函数在关于＂０＂对称区间上的点调性是相同的．追踪训练1．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是 （ ） 4 2 0 不能确定2. 定 义 在 ( － ∞ ， +∞) 上 的 函 数 满 足 f( －x)=f(x) 且 f(x) 在 (0 ， +∞) 上 ， 则 不 等 式f(a)bC.|a|<|b|D.0≤ab≥03. 是奇函数，它在区间（其中）上为增函数，则它在区间上（ ） A. 是减函数且有最大值 B. 是减函数且有最小值 C. 是增函数且有最小值 D. 是增函数且有最大值4 已知函数 ax7+6x5+cx3+dx+8，且 f(－5)= －15，则 f(5)= ．5．定义在实数集上的函数 f(x)，对任意，有且。（1）求证；（2）求证：是偶函数。【师生互动】学生质疑教师释疑听课随笔
