第 5 课时 圆的方程例 1. 根据下列条件，求圆的方程．(1) 经过 A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线 3x＋10y＋9＝0 上．(2) 经过 P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长为 6．解：(1) AB 的中垂线方程为 3x＋2y－15＝0由 解得 ∴圆心为 C(7，－3)，半径 r＝故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65(2)设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0将 P、Q 两点坐标代入得令 y＝0 得 x2＋Dx＋F＝0由弦长|x1－x2|＝6 得 D2－4F＝36 ③解①②③可得 D＝－2，E＝－4，F＝－8 或 D＝－ 6，E＝－8，F＝0故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0变式训练 1：求过点 A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线 x－2y－3=0 上的圆的方程．由 A（2，－3），B（－2，－5），得直线 AB 的斜率为 kAB= = ,线段 AB 的中点为（0，－4），线段 AB 的中垂线方程为 y＋4=－2x,即 y＋2x ＋4=0,基础过关解方程组得∴圆心为（－1，－2），根据两点间的距离公式，得半径 r==所求圆的方程为（x＋1)2＋(y＋2)2=10例 2. 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P，Q 两点，且 OP⊥OQ（O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解 方法一 将 x=3-2y,代入方程 x2+y2+x-6y+m=0,得 5y2-20y+12+m=0.设 P（x1,y1）,Q(x2,y2),则 y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2= OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而 x1=3-2y1,x2=3-2y2.∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此时 Δ＞0,圆心坐标为,半径 r=.方法二 如图所示，设弦 PQ 中点为 M， O1M⊥PQ，∴.∴O1M 的方程为:y-3=2,即：y=2x+4.由方程组解得 M 的坐标为（-1，2）.则以 PQ 为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2. OP⊥OQ，∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上.∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即 r2=5,MQ2=r2.在 Rt△O1MQ 中，O1Q2=O1M2+MQ2.∴(3-2)2+5=∴-+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.∴圆心为，半径为.变式训练 2：已知圆 C：（x-1）2+(y-2)2=25 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).（1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 恒相交；（2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.（1）证明 直线 l 可化为 x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论 m 取什么实数，它恒过两直线 x+y-4=0 与 2x+y-7=0 的交点.两方程联立，解得交点为（3，1），...
