第 5 讲 数形结合思想在解题中的应用一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题分析 例 1. 分析：， 例 2. 解：法一、常规解法： 法二、数形结合解法： 例 3. A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 1 个或 2 个或 3 个 分析：出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有 2 个实根，选（B）。 例 4. 分析： 例 5. 分析：构造直线的截距的方法来求之。 截距。 例 6. 分析：以 3 为半径的圆在 x 轴上方的部分，（如图），而 N 则表示一条直线，其斜率 k=1，纵截 例 7. MF1的中点，O 表示原点，则|ON|=（ ） 分析：①设椭圆另一焦点为 F2，（如图）， 又注意到 N、O 各为 MF1、F1F2的中点， ∴ON 是△MF1F2的中位线， ② 若联想到第二定义，可以确定点 M 的坐标，进而求 MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。例 8. 分析： 例 9. 解法一（代数法）：， 解法二（几何法）： 例 10. 分析：转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。 ...
