压轴题思维练一1.(2016·湖北华师一附中3月联考)定义:在平面内,点P到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:(x-)2+y2=12及点A(-,0),动点P到圆M的距离与到点A的距离相等,记P点的轨迹为曲线W.(1)求曲线W的方程;(2)过原点的直线l(l不与坐标轴重合)与曲线W交于不同的两点C,D,点E在曲线W上,且CE⊥CD,直线DE与x轴交于点F,设直线DE,CF的斜率分别为k1,k2,求.2.(2016·山东潍坊二模)已知函数f(x)=+blnx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x.(1)求函数f(x)的单调区间及极值;(2)若∀x≥1,f(x)≤kx恒成立,求k的取值范围.压轴题思维练一1.解:(1)由题意知:点P在圆内且不为圆心,易知|PA|+|PM|=2>2=|AM|,所以P点的轨迹为以A,M为焦点的椭圆,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则⇒所以b2=1,故曲线W的方程为+y2=1.(2)设C(x1,y1)(x1y1≠0),E(x2,y2),则D(-x1,-y1),则直线CD的斜率为kCD=,又CE⊥CD,所以直线CE的斜率是kCE=-,记-=k,设直线CE的方程为y=kx+m,由题意知k≠0,m≠0.由得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0,所以x1+x2=-,所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=,由题意知x1≠x2,所以k1=kDE==-=,所以直线DE的方程为y+y1=(x+x1),令y=0,得x=2x1,即F(2x1,0).可得k2=-.所以=-.2.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=,故f′(1)=b-a=1,又f(1)=a,点(1,a)在直线y=x上,所以a=1,则b=2.所以f(x)=+2lnx且f′(x)=,当0时,f′(x)>0,故函数f(x)的单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,),f(x)极小值=f()=2-2ln2,无极大值.(2)由题意知,k≥=+(x≥1)恒成立,令g(x)=+(x≥1),则g′(x)=-=(x≥1),令h(x)=x-xlnx-1(x≥1),则h′(x)=-lnx(x≥1),当x≥1时,h′(x)≤0,h(x)在[1,+∞)上为减函数,故h(x)≤h(1)=0,故g′(x)≤0,所以g(x)在[1,+∞)上为减函数,故g(x)的最大值为g(1)=1,所以k≥1.即k的取值范围为[1,+∞).
