定积分与微积分基本定理【考点梳理】1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，当 n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f ( x ) d x ，即 f(x)dx＝f ( ξ i).在 f(x)dx 中，a ， b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f ( x ) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f ( x ) d x 叫做被积式.(2)定积分的几何意义f(x)f(x)dx 的几何意义f(x)≥0表示由直线 x＝a，x＝b，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)＜0表示由直线 x＝a，x＝b，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x) 在 [a ， b] 上 有正有负表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形的面积2．定积分的性质(1)kf(x)dx＝k f ( x ) d x (k 为常数).(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1( x )d x ± f 2( x ) d x .(3)f(x)dx＝f ( x ) d x ＋f(x)dx(其中 a＜c＜b).3．微积分基本定理一般地，如果 f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝F ( b ) － F ( a ) .这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把 F(b)－F(a)记为F(x) ，即 f(x)dx＝F(x))＝F ( b ) － F ( a ) .【考点突破】考点一、定积分的计算【例 1】(1)(cos x＋1)dx＝________.(2)|x2－2x|dx＝________.(3)(2x＋)dx＝________.[答案] (1) π (2) 8 (3) 1＋[解析] (1)(cos x＋1)dx＝(sin x＋x)＝π.(2)|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(2x－x2)dx＝＋＝＋4＋4－＝8.(3)dx 表示以原点为圆心，以 1 为半径的圆的面积的，∴dx＝.又 2xdx＝x2＝1，∴(2x＋)dx＝2xdx＋dx＝1＋.【类题通法】1. 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化运算.2．运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.【对点训练】1．定积分(x2＋sin x)dx＝________.[答案] [解析] (x2＋sin x)dx＝x2dx...
