高考数学 考点突破——圆锥曲线：双曲线学案-人教版高三全册数学学案

双曲线【考点梳理】1．双曲线的定义(1) 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 ， F2(|F1F2| ＝ 2c>0) 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 为 非 零 常 数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.① 当 2 a <| F 1F2|时，M 点的轨迹是双曲线；② 当 2 a ＝ | F 1F2|时，M 点的轨迹是两条射线；③ 当 2 a >| F 1F2|时，M 点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a 或 x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a 或 y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1 ，＋∞ ) ，其中 c＝a，b，c 的关系c2＝a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)3．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y ＝ ± x ，离心率为 e＝.【考点突破】考点一、双曲线的定义及应用【例 1】(1)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________.(2)已知双曲线 x2－＝1 的两个焦点为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为( )A．48 B．24 C．12 D．6[答案] (1) x2－＝1(x≤－1) (2) B[解析] (1)如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 A 和 B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点 M 到两定点 C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大，与 C1的距离小)，其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8.故点 M 的轨迹方程为 x2－＝1(x≤－1).(2)由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形 PF1F2为直角三角形，因此 S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.【类题通法】1．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点...