圆锥曲线的综合问题【知识梳理】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量x(或变量 y)的一元方程，即消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.(1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，则：Δ＞0⇔直线与圆锥曲线 C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C 相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线 C 相离.(2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2．圆锥曲线的弦长设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝·|y1－y2|＝·.【考点突破】考点一、直线与圆锥曲线的位置关系【例 1】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1(－1，0)，且点 P(0，1)在 C1上.(1)求椭圆 C1的方程；(2)设直线 l 同时与椭圆 C1和抛物线 C2：y2＝4x 相切，求直线 l 的方程.[解析] (1)椭圆 C1的左焦点为 F1(－1，0)，∴c＝1，又点 P(0，1)在曲线 C1上，∴＋＝1，得 b＝1，则 a2＝b2＋c2＝2，所以椭圆 C1的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知，直线 l 的斜率显然存在且不等于 0，设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，由消去 y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线 l 与椭圆 C1相切，所以 Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理得 2k2－m2＋1＝0.①由消去 y，得 k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线 l 与抛物线 C2相切，所以 Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得 km＝1.②综合①②，解得或所以直线 l 的方程为 y＝x＋或 y＝－x－.【类题通法】研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含 x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择题、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【对点训练】已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：＋＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解析] 将直线 l ...
