高考数学一轮复习 47 空间向量在立体几何中的应用（二）学案 理-人教版高三全册数学学案

第四十七课时 空间向量在立体几何中的应用 (二) 课前预习案考纲要求1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题2.体会向量方法在研究几何问题中的作用。基础知识梳理1、二面角的定义(1)平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做________________。(2)二面角的定义：_________________________________________________________，_______________________叫做二面角的棱，_______________________叫做二面角的面。(3)二面角的记法：棱为 ，两个面分别为的二面角，记作______________。(4)二面角的平面角：在二面角的棱 上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,则 是二面角的平面角. (5)直二面角：____________________________________。2、二面角的平面角的求法(1)如图，分别在二面角的面内，作向量，则等于二面角的平面角.(2)若分别为平面的法向量，二面角的大小为，则预习自测1． 若平面 α 的一个法向量为 n＝(4,1,1)，直线 l 的一个方向向量为 a＝(－2，－3,3)，则l 与 α 所成角的正弦值为__________________________________________________．2． 若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角＝________.3． 从空间一点 P 向二面角 α—l—β 的两个面 α，β 分别作垂线 PE，PF，垂足分别为E，F，若二面角 α—l—β 的大小为 60°，则∠EPF 的大小为__________．4． 如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCO—A′B′C′D′，A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为________．课堂探究案典型例题【典例 1】如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面⊥平面； (2)若，，，求二面角的余弦值． 【变式 1】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，点 E 在线段 PC 上，PC⊥平面 BDE．（1）证明：BD⊥平面 PAC；（2）若 PA=1，AD=2，求二面角 B-PC-A 的正切值；【典例 2】在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，平面.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【变式 2】如图,四棱锥中,,,为的中点,.(1)求的长；(2)求二面角的正弦值.【典例 3】（2013 年天津理）如图, 四棱柱中, 侧棱⊥底面, ,⊥,，,为棱的中点. (1) 证明；(2) 求二面角的正弦值. (3) 设点在线段上, 且直线与平面所成角的正弦值为, 求...