高考数学一轮复习 不等式 第7课时 不等式的应用教学案-人教版高三全册数学教学案

第 7 课时 不等式的应用1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题．例 1.若关于 x 的方程 4x＋a·2x＋a＋1＝0 有实数解，求实数 a 的取值范围.解:令 t＝2x(t＞0)，则原方程化为 t2＋at＋a＋1＝0，变形得]212)1[(112tttta222)222(变式训练 1：已知方程 sin2x－4sinx＋1－a＝0 有解，则实数 a 的取值范围是 （ ）A．[－3，6]B．[－2，6]C．[－3，2]D．[－2，2]解:B例 2. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出．设箱体的长度为 a 米，高度为 b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比．现有制箱材料 60 平方米．问当a，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B 孔的面积忽略不计)．解法一：设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则 y＝abk ，其中 k＞0 为比例系数.依题意，即所求的 a，b 值使 y 值最小.根据题设，有 4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)，得 b＝aa230(0＜a＜30) ①于是 y＝abk ＝aaak230226432aak264234aak≥2642234aak18k当 a＋2＝264a时取等号，y 达到最小值.这时 a＝6，a＝－10(舍去).将 a＝6 代入①式得 b＝3.故当 a 为 6 米，b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.1典型例题基础过关解法二：依题意，即所求的 a，b 的值使 ab 最大.由题设知 4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)，即 a＋2b＋ab＝30(a＞0，b＞0).因为 a＋2b≥2ab2，所以 ab22+ab≤30，当且仅当 a＝2b 时，上式取等号.由 a＞0，b＞0，解得 0＜ab≤18.即当 a＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为 18.所以 2b2＝18.解得 b＝3，a＝6.故当 a 为 6 米，b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．变式训练 2：一批物资要用 11 辆汽车从甲地运到 360 千米外的乙地，若车速为 v 千米/小时，两车的距离不能小于(10v )2千米，运完这批...