突破点 3 平面向量[核心知识提炼]提炼 1 平面向量共线、垂直的两个充要条件若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 . 提炼 2 数量积常见的三种应用已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)证明向量垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)求向量的长度：|a|＝＝.(3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝＝.提炼 3 平面向量解题中应熟知的常用结论(1)A，B，C 三点共线的充要条件是存在实数 λ，μ，有OA＝λOB＋μOC，且 λ ＋ μ ＝ 1 .(2)C 是线段 AB 中点的充要条件是OC＝(OA＋OB)．(3)G 是△ABC 的重心的充要条件为GA＋GB＋GC＝0，若△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC 的重心坐标为.(4)PA·PB＝PB·PC＝PA·PC⇔P 为△ ABC 的垂心． (5)非零向量 a，b 垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|⇔x1x2＋y1y2＝0.(6)向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cos θ＝，向量 a 在 b 的方向上的投影为|a|cos θ＝.[高考真题回访]回访 1 平面向量的线性运算1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝( )A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)A [设 C(x，y)，则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而BC＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选 A.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB＋FC＝( )A.BC B.ADC.AD D.BCC [如图，EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝EC＋FB＝(AC＋AB)＝·2AD＝AD.]回访 2 平面向量的数量积3．(2015·全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )A．－1 B．0 C.1 D．2C [法一： a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二： a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选 C.]4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量 a＋b 与 a 垂直，则 m＝________.7 [ a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．又 a＋b 与 a 垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得 m＝7.]5．(2013·全国卷Ⅰ)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝ta＋(1－t)b，若 b·c＝0，则 t＝________.2...
