第 4 讲 直线、平面垂直的判定与性质一、知识梳理1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⇒l⊥α3.空间角(1)直线与平面所成的角① 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠ PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角．② 线面角 θ 的范围：θ∈．(2)二面角1① 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角 α l β 或二面角 P AB Q ．② 二面角的平面角如图，过二面角 αlβ 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别作 BO⊥l，AO⊥l，则∠ AOB 就叫做二面角 αlβ 的平面角．③ 二面角的范围设二面角的平面角为 θ，则 θ∈[0 ， π] ．④ 当 θ＝时，二面角叫做直二面角．常用结论1．线线、线面、面面垂直间的转化2．两个重要定理(1)三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．(2)三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．3．重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．二、教材衍化1．下列命题中错误的是________(填序号)．① 如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β② 如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β③ 如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β＝l，那么 l⊥平面 γ④ 如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β解析：对于④，若平面 α⊥平面 β，则平面 α 内的直线可能不垂直于平面 β，即与平...
