突破点 5 数列的通项与求和[核心知识提炼]提炼 1 an与 Sn的关系若 an为数列{an}的通项，Sn为其前 n 项和，则有 an＝在使用这个关系式时，一定要注意区分 n ＝ 1 ， n ≥2 两种情况 ，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起.提炼 2 求数列通项常用的方法(1)定义法：①形如 an＋1＝an＋c(c 为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如 an＋1＝kan(k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列．(2)叠加法：形如 an＋1＝an＋f(n)，利用 an＝a1＋ ( a 2－ a 1) ＋ ( a 3－ a 2) ＋…＋ ( a n－ a n－1)，求其通项公式．(3)叠乘法：形如＝f(n)≠0，利用 an＝a1···…·，求其通项公式．(4)待定系数法：形如 an＋1＝pan＋q(其中 p，q 均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为 a n＋1－ t ＝ p ( a n－ t ) ，其中 t＝，再转化为等比数列求解．(5)构造法：形如 an＋1＝pan＋qn(其中 p，q 均为常数，pq(p－1)≠0)，先在原递推公式两边同除以 q n ＋ 1 ，得＝·＋，构造新数列{bn}，得 bn＋1＝·bn＋，接下来用待定系数法求解.提炼 3 数列求和数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法、错位相减法是常用的两种方法．[高考真题回访]回访 1 an与 an＋1的关系1．(2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足 an＋1＝，a8＝2，则 a1＝________. [ an＋1＝，∴an＋1＝＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，∴周期 T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而 a2＝，∴a1＝.]回访 2 数列求和2．(2012·全国卷)数列{an}满足 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前 60 项和为( )A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830D [ an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1 830.]3．(2013·全国卷Ⅰ改编)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn满足 S3＝0，S5＝－5.则(1){an}的通项公式为__________；(2)数列的前 n 项和为__________．(1)an＝2－n (2) [(1)设...
