第七节 抛物线[最新考纲] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 (范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程与几何性质[常用结论]设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α 为弦 AB 的倾斜角)．(3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于 2p，通径是过焦点最短的弦．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(3)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是 x＝－.( )(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． ( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)×二、教材改编1．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )A．9 B．8 C．7 D．6B [抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]2．若抛物线 y＝4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( )A. B. C. D．0B [M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程为 y＝－，设 M(x，y)，则 y＋＝1，∴y＝.]3．设抛物线 y2＝8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( )A．4 B．6 C．8 D．12B [如图所示，抛物线的准线 l 的方程为 x＝－2，F 是抛物线的焦点，过点 P 作 PA⊥y轴，垂足是 A，延长 PA 交直线 l 于点 B，则|AB|＝2.由于点 P 到 y 轴的距离为 4，则点 P 到准线 l 的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选 B.]4．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(－4，－2)的抛物线的标准方程是 ．y2＝－x 或 x2＝－8y [若焦点在 y 轴上，设抛物线方程为 x2＝my，由题意可知 16＝－2m，∴m＝－8，即 x2＝－8y.若焦点在 x 轴上，设抛物线方程为 y2＝nx...
