高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.10 圆锥曲线中的证明、探索性问题教学案 苏教版-苏教版高三全册数学教学案

第十节 圆锥曲线中的证明、探索性问题考点 1 圆锥曲线中的几何证明问题 圆锥曲线中常见的证明问题(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等．(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明． (2018·全国卷Ⅰ)设椭圆 C：＋y2＝1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于A，B 两点，点 M 的坐标为(2,0)．(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.[解](1)由已知得 F(1,0)，l 的方程为 x＝1.由已知可得，点 A 的坐标为或.又 M(2,0)，所以 AM 的方程为 y＝－x＋或 y＝x－.(2)证明：当 l 与 x 轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＜，x2＜，直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA＋kMB＝＋.由 y1＝kx1－k，y2＝kx2－k 得kMA＋kMB＝.将 y＝k(x－1)代入＋y2＝1 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.所以，x1＋x2＝，x1x2＝.则 2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.从而 kMA＋kMB＝0，故 MA，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB. 解决本题的关键是把图形中“角相等”关系转化为相关直线的斜率之和为零；类似的还有圆过定点问题，转化为在该点的圆周角为直角，进而转化为斜率之积为－1；线段长度的比问题转化为线段端点的纵坐标或横坐标之比．[教师备选例题](2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线 C：y2＝2x，过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；(2)设圆 M 过点 P(4，－2)，求直线 l 与圆 M 的方程．[解](1)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.由可得 y2－2my－4＝0，则 y1y2＝－4.又 x1＝，x2＝，故 x1x2＝＝4.因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为·＝＝－1，所以 OA⊥OB.故坐标原点 O 在圆 M 上．(2)由(1)可得 y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圆心 M 的坐标为(m2＋2，m)，圆 M 的半径 r＝.由于圆 M 过点 P(4，－2)，因此AP·BP＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即 x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20...