2.10 导数的概念及运算 [知识梳理]1．变化率与导数(1)平均变化率 (2)导数2．导数的运算[诊断自测]1．概念思辨(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )(2)f′(x0)是函数 y＝f(x)在 x＝x0附近的平均变化率．( )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(4)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线与过点 P(x0，y0)的切线相同．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(选修 A1－1P74 思考)若函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于( )A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2答案 C解析 Δy＝(1＋Δy)－1＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4.故选 C.(2)(选修 A1－1P85T7)f(x)＝cosx 在处的切线的倾斜角为________．答案 解析 f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f′＝－1，tanα＝－1，所以 α＝.3．小题热身(1)(2017·湖北百所重点高中联考 )已知函数 f(x＋1)＝，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )A．1 B．－1 C．2 D．－2答案 A解析 f(x＋1)＝，故 f(x)＝，即 f(x)＝2－，对 f(x)求导得 f′(x)＝，则 f′(1)＝1，故所求切线的斜率为 1.故选 A.(2)(2017·太原模拟)函数 f(x)＝xex的图象在点(1，f(1))处的切线方程是________．答案 y＝2ex－e解析 f(x)＝xex，∴f(1)＝e，f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e，∴f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 y－e＝2e(x－1)，即 y＝2ex－e.题型 1 导数的定义及应用 \s\up7( ) 已知函数 f(x)＝＋1，则lim 的值为( )A．－ B. C. D．0用定义法．答案 A解析 由导数定义，lim ＝－lim ＝－f′(1)，而 f′(1)＝.故选 A.\s\up7( ) 已知 f′(2)＝2，f(2)＝3，则lim ＋1 的值为( )A．1 B．2 C．3 D．4用定义法．答案 C解析 令 x－2＝Δx，x＝2＋Δx，则原式变为lim ＋1＝f′(2)＋1＝3.故选 C.方法技巧由定义求导数的方法及解题思路1．导数定义中，x 在 x0处的增量是相对的，可以是 Δx，也可以是 2Δx，解题时要将分子、分母中的增量统一．2．导数定义lim ＝f′(x0)等价于lim ＝f′(x0)．3．求函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数的求解步骤：冲关针对训练用导数的定义求函数 y＝在 x＝1 处的导数．解 记 f(x)＝，则 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝＝＝，＝－，∴lim ＝lim ＝－.∴y′|x＝1＝－.题型 2 导数的计算\s\up7( ) 求下列函...
