第三节 函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)是偶函数都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数 f(x)是奇函数图象特征关于 y 轴 对称关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)＝0.2．函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a＞0)．(2)若 f(x＋a)＝，则 T＝2a(a＞0)．(3)若 f(x＋a)＝－，则 T＝2a(a＞0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． ( )(2)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称．( )(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( )(4)函数 f(x)在定义域上满足 f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则 f(x)是周期为 2a 的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是( )A．－ B.C. D．－B [依题意 b＝0，且 2a＝－(a－1)，∴b＝0 且 a＝，则 a＋b＝.]3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos xC．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin xD [A 项，定义域为 R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为 R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为 R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数，...
