函数的奇偶性与单调性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数 f (x)定义域内的任意 x 都有 ，则称 f (x)为奇函数；若 ，则称 f (x)为偶函数. 如果函数 f (x)不具有上述性质，则 f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则 f (x) .② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.2） 函数 f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.2．与函数周期有关的结论：① 已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为 ；②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期 例 1. 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (x∈R);(3)f(x)=lg|x-2|.解：（1） x2-1≥0 且 1-x2≥0,∴x=±1,即 f(x)的定义域是{-1，1}. f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故 f(x)既是奇函数又是偶函数.基础过关典型例题（2）方法一 易知 f(x)的定义域为 R，又 f(-x)=log2［-x+］=log2=-log2(x+)=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二 易知 f(x)的定义域为 R，又 f（-x）+f（x）=log2［-x+］+log2(x+)=log21=0,即 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（3）由|x-2|＞0，得 x≠2.∴f（x）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故 f(x)为非奇非偶函数.变式训练 1：判断下列各函数的奇偶性：（1）f（x）=（x-2）；（2）f（x）=；（3）f（x）=解：（1）由≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故 f（x）为非奇非偶函数.（2）由得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时 f（x）=. f（-x）=-∴f（x）为偶函数.（3）x＜-1 时，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.x＞1 时，f（x）=-x+2，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x).-1≤x≤1 时，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）.∴对定义域内的每个 x 都有 f（-x）=f（x）.因此 f（x）是偶函数.例 2 已知函数 f(x),当 x,y∈R 时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果 x∈R+，f（x）＜0,并且 f(1)=-,试求 f(x)在区间［-2，6］上的最值.（1）证明： 函数定义域为 R，其定义域关于原点对称. f（x+y）=f（x）+f（y），令 y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函...
