第二节 导数与函数的单调性[最新考纲] 1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)．函数的单调性与导数的关系条件结论函数 y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)＜0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数1．在某区间内 f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意 x ∈ ( a ， b ) ，都有 f ′ ( x )≥0( f ′( x )≤0) 且 f ′( x ) 在 ( a ， b ) 上的任何子区间内都不恒为零 ．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.( )(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( )(3)在(a，b)内 f′(x)≤0 且 f′(x)＝0 的根有有限个，则 f(x)在(a，b)内是减函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√二、教材改编1．如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是( )A．在区间(－3,1)上 f(x)是增函数B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数D．在区间(3,5)上 f(x)是增函数C [由图像可知，当 x∈(4,5)时，f′(x)＞0，故 f(x)在(4,5)上是增函数．]2．函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( )A．先增后减 B．先减后增C．增函数 D．减函数D [因为 f′(x)＝－sin x－1＜0 在(0，π)上恒成立，所以 f(x)在(0，π)上是减函数，故选 D.]3．函数 f(x)＝x－ln x 的单调递减区间为________．1(0,1] [函数 f(x)的定义域为{x|x＞0}，由 f′(x)＝1－≤0，得 0＜x≤1，所以函数 f(x)的单调递减区间为(0,1]．]4．已知 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则实数 a 的最大值是________．3 [f′(x)＝3x2－a≥0，即 a≤3x2，又因为 x∈[1，＋∞ )，所以 a≤3，即 a 的最大值是 3.]考点 1 不含参数函数的单调性 求函数单调区间的步骤(1)确定函数 f(x)的定义域．(2)求 f′(x)．(3)在定义域内解不等式 f′(x)＞0，得单调递增区间．(4)在定义域内解不等式 f′(x)＜0，得单调递减区间． 1.函数 f(x)＝1＋x－sin x 在(0,2π)上是( )A．单调递增B．单调递减C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上...
