8．6 双曲线[知识梳理]1．双曲线的定义平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0：(1)当 a < c 时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当 a ＝ c 时，P 点的轨迹是两条射线；(3)当 a > c 时，P 点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形续表3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为 b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率 e＝⇔两条渐近线 y＝±x 相互垂直．[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线．( )(2)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )(4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是 e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(选修 A1－1P53T3)已知椭圆＋＝1 和双曲线－y2＝1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A．x＝±y B．y＝±xC．x＝±y D．y＝±x答案 D解析 由椭圆＋＝1 和双曲线－y2＝1 有公共的焦点，得 m＋1＝8－5.所以 m＝2，所以双曲线方程为－y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为 y＝±x.故选 D.(2)(选修 A1－1P51 例 3)已知中心在原点，焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 y＝±x，则此双曲线的离心率为________．答案 解析 因为焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 y＝±x，所以＝，即 b＝2a.由 c2＝a2＋b2，得 c2＝a2＋4a2＝5a2，即＝5，所以 e＝＝.3．小题热身(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知 F 为双曲线 C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( )A. B．3 C.m D．3m答案 A解析 由题意知，双曲线的标准方程为－＝1，其中 a2＝3m，b2＝3，故 c＝＝，不妨设F 为双曲线的右焦点，故 F(，0)．其中一条渐近线的方程为 y＝ x，即 x－y＝0，由点到直线的距离公式可得 d＝＝，故选 A.(2)(2016·山东高考)已知双曲线 E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形 ABCD 的四个顶点在 E上，AB，CD...
