第 2 讲 空间中位置关系的判断与证明问题高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )解析 法一 对于选项 B，如图(1)所示，连接 CD，因为 AB∥CD，M，Q 分别是所在棱的中点，所以 MQ∥CD，所以 AB∥MQ，又 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，所以 AB∥平面 MNQ.同理可证选项 C，D 中均有 AB∥平面 MNQ.因此 A 项不正确. 图(1) 图(2)法二 对于选项 A，其中 O 为 BC 的中点(如图(2)所示)，连接 OQ，则 OQ∥AB，因为 OQ 与平面MNQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行.A 项不正确.答案 A2.(2016·全国Ⅱ卷)α，β 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：① 如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 α⊥β.② 如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n.③ 如果 α∥β，m⊂α，那么 m∥β.④ 如果 m∥n，α∥β，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等.其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).解析 当 m⊥n，m⊥α，n∥β 时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.答案 ②③④3.(2016·全国Ⅰ卷)平面 α 过正方体 ABCD－A1B1C1D1 的顶点 A，α∥平面 CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面 ABB1A1＝n，则 m，n 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.解析 如图所示，设平面 CB1D1∩平面 ABCD＝m1，因为 α∥平面 CB1D1，所以 m1∥m，又平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，且平面 B1D1C∩平面 A1B1C1D1＝B1D1，所以 B1D1∥m1，故 B1D1∥m.因为平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1，且平面 CB1D1∩平面 DCC1D1＝CD1，同理可证 CD1∥n.故 m，n 所成角即直线 B1D1与 CD1所成角，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线 B1D1与 CD1所成角为 60°，其正弦值为.答案 A4.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD；(2)若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥 P－ABCD 的体积为，求该四棱...
