第 3 讲 等比数列及其前 n 项和一、知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母 q 表示． (2)等比中项如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔G 2 ＝ ab ．“a，G，b 成等比数列”是“G 是 a 与 b 的等比中项”的充分不必要条件．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1q n － 1 ．(2)前 n 项和公式：Sn＝3．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前 n 项和(m，n，p，q，r，k∈N+(1)若 m＋n＝p＋q＝2r，则 am·an＝ap· a q＝a．(2)数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．(3)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比 q≠－1)．常用结论1．正确理解等比数列的单调性当 q>1，a1>0 或 01，a1<0 或 00 时 ，{an}是递减数列；当 q＝1 时，{an}是常数列；当 q＝－1 时，{an}是摆动数列．2．记住等比数列的几个常用结论(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.(3)一个等比数列各项的 k 次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的 k 次幂．(4){an}为等比数列，若 a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn，，，…成等比数列．(5)当 q≠0，q≠1 时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时 k＝.(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．二、教材衍化1．在 3 与 192 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为 q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以 q＝4.所以插入的两个数分别为 3×4＝12，12×4＝48.答案：12，482．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比 q＝________．解析：由题意知 q3＝＝，所以 q＝.答案：3．等比数列{an}的首项 a1＝－1，前 n 项和为 Sn，若＝，则{an}的通项公式 an＝________．解析：因为＝，所以＝－，因为 S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为 q5，所以q5...
