高考数学一轮复习统考 第2章 函数与基本初等函数 第4讲 幂函数与二次函数学案（含解析）北师大版-北师大版高三全册数学学案

第 4 讲 幂函数与二次函数基础知识整合1．幂函数(1)定义：形如□y ＝ x α 的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，α 为常数．常见的五类幂函数为 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.(2)常见的 5 种幂函数的图象(3)性质① 幂函数在(0，＋∞)上都有定义．② 当 α>0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．③ 当 α<0 时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域□□单调性在 x∈上单调递减；在 x∈□上单调递增在 x∈□上单调递增；在 x∈上单调递减对称性函数的图象关于 x＝－对称1．幂函数图象特征(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近 x 轴(简记为“指大图低”)；(2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0 且 Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0 且 Δ<0”．4．二次函数的对称轴二次函数 y＝f(x)对定义域内的所有 x，都有 f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称(a 为常数)．5．设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－∈[m，n]，则 f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝f.(2)若－∉[m，n]，则 f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小．1．已知幂函数 f(x)的图象经过点，则 f(x)为( )A．偶函数B．奇函数C．定义域内的增函数D．定义域内的减函数答案 D解析 设幂函数 f(x)＝xα， 其图象过点，∴2α＝＝2－，解得 α＝－，∴f(x)＝x－，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．故选 D．2．若函数 y＝x2－2tx＋3 在[1，＋∞)上为增函数，则 t 的取值范围是( )A．t≤1B．t≥1C．t≤－1D．t≥－1答案 A解析 函数 y＝x2－2tx＋3 的图象关于直线 x＝t 对称，且开口向上，∴t≤1.3．(2019·...